Косинус 75 градусов — это величина, которая описывает соотношение сторон треугольника. Чтобы понять, чему он равен, давайте рассмотрим определение косинуса и его свойства.
Косинус угла θ в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины прилежащего катета к гипотенузе. Если гипотенуза равна единице, то косинус равен длине прилежащего катета. В общем случае, косинус может принимать значения от -1 до 1.
Теперь вернемся к нашему вопросу — чему равен косинус 75 градусов?
Для начала, давайте представим угол на координатной плоскости. Угол 75 градусов находится справа от положительного направления оси X и сверху от положительного направления оси Y. Нарисуем треугольник с углом 75 градусов в стандартном положении:
\ \ \ \ ______\
Пусть гипотенуза этого треугольника равна единице. Тогда мы можем найти косинус 75 градусов, используя определение косинуса. Для этого нужно найти длину прилежащего катета.
Так как мы знаем, что синус и косинус являются функциями периодическими с периодом 360 градусов, то можно воспользоваться свойством симметрии. Косинус 75 градусов равен косинусу 285 градусов, так как 285 + 75 = 360. И теперь наш треугольник выглядит следующим образом:
\ \ \ \ ______\
Для нахождения косинуса 285 градусов, мы можем использовать тот же треугольник, но взять отрицательный знак, так как 285 градусов лежит в третьем квадранте. В этом случае длина прилежащего катета будет отрицательной и равна -cos(75°).
Таким образом, косинус 75 градусов равен -cos(75°).
Для нахождения точного значения косинуса 75 градусов, мы можем воспользоваться формулой косинуса суммы двух углов:
cos(a + b) = cos(a)*cos(b) — sin(a)*sin(b)
Тогда, заменив a на 45 градусов и b на 30 градусов, получаем:
cos(75°) = cos(45° + 30°) = cos(45°)*cos(30°) — sin(45°)*sin(30°)
Значения cos(45°) и cos(30°) можно найти с помощью таблицы значений тригонометрических функций или калькулятора. По таблице, cos(45°) = √2/2 и cos(30°) = √3/2.
Также, sin(45°) и sin(30°) можно найти с помощью таблицы или калькулятора. По таблице, sin(45°) = √2/2 и sin(30°) = 1/2.
Подставив значения, получаем:
cos(75°) = (√2/2)*(√3/2) — (√2/2)*(1/2)
Упростив, получаем:
cos(75°) = (√6 — √2)/4
Таким образом, косинус 75 градусов равен (√6 — √2)/4.