Три окружности, радиусы которых составляют 2, 3 и 10 единиц, касаются друг друга. Это геометрическая задача, которая требует нахождения радиуса одной из окружностей.
Давайте рассмотрим эту задачу внимательнее. Начнем с того, что имеется три окружности, и их радиусы — это крайние выражения этой геометрической головоломки. Очевидно, что, так как все три окружности касаются парно, каждая из них должна касаться двух других окружностей.
Мы можем представить эти окружности на плоскости в виде трех кругов, их центры расположены таким образом, что они касаются друг друга. Давайте обозначим центр первой окружности как O1, второй — O2 и третьей — O3. Мы также обозначим радиусы как r1 = 2, r2 = 3 и r3 = 10.
Итак, пусть первая окружность O1 касается второй окружности O2, и их точка контакта обозначена как A. Точка контакта второй и третьей окружностей мы обозначим как B, а точка контакта третьей и первой окружностей — C.
Теперь мы можем обратиться к теореме Пифагора, чтобы найти отношения между радиусами и расстояниями между центрами окружностей. Точкам A, B и C соответствуют прямоугольные треугольники.
По теореме Пифагора, мы можем записать следующее равенство для треугольников O1AO2, O2BO3 и O3CO1:
(O2O1)² + (r1 + r2)² = (r2 + r3)² (1)
(O3O2)² + (r2 + r3)² = (r3 + r1)² (2)
(O1O3)² + (r3 + r1)² = (r1 + r2)² (3)
С вашего позволения, я докажу одно из этих уравнений.
Рассмотрим первое уравнение (1). Мы видим, что O2O1 представляет собой расстояние между центрами двух окружностей O1 и O2, которое мы пока не знаем. Нам нужно показать, что левая и правая части уравнения равны. Давайте сделаем это.
По утверждению задачи, окружности касаются парно, поэтому точка A — это точка касания окружностей O1 и O2. Мы можем представить O2A как (r1 + r2), где r1 — радиус первой окружности, а r2 — радиус второй окружности.
Теперь, для прямоугольного треугольника O2AO1 мы можем использовать теорему Пифагора:
(O2O1)² + (O2A)² = (O1A)²
Вставим значения O2A = (r1 + r2) и O1A = r2 + r1 (так как O1A — это расстояние между центрами касающихся окружностей O1 и O2, а затем просто сложим их радиусы):
(O2O1)² + (r1 + r2)² = (r2 + r1)²
Теперь у нас есть равенство, которое мы хотели доказать. Мы получили уравнение (1). Аналогично можно привести уравнения (2) и (3), используя те же шаги и применяя теорему Пифагора для соответствующих прямоугольных треугольников.
Теперь, чтобы решить систему уравнений (1), (2) и (3), нам нужно найти неизвестное значение O2O1 или O2O3 или O1O3. Это расстояние между центрами окружностей, которое и является радиусом третьей окружности.
Откроем скобки в каждом из уравнений (1), (2) и (3):
(O2O1)² + r1² + 2r1r2 + r2² = r2² + 2r2r3 + r3²
(O3O2)² + r2² + 2r2r3 + r3² = r3² + 2r3r1 + r1²
(O1O3)² + r3² + 2r3r1 + r1² = r1² + 2r1r2 + r2²
Теперь упростим каждое из уравнений, вычитая r2², r3² и r1² соответственно:
(O2O1)² + 2r1r2 = 2r2r3 + r1²
(O3O2)² + 2r2r3 = 2r3r1 + r2²
(O1O3)² + 2r3r1 = 2r1r2 + r3²
Теперь выразим O2O1, O3O2 и O1O3 в каждом уравнении:
(O2O1)² = 2r2r3 + r1² — 2r1r2
(O3O2)² = 2r3r1 + r2² — 2r2r3
(O1O3)² = 2r1r2 + r3² — 2r3r1
Сократим каждое уравнение:
(O2O1)² = r1² + 2r2r3 — 2r1r2
(O3O2)² = r2² + 2r3r1 — 2r2r3
(O1O3)² = r3² + 2r1r2 — 2r3r1
Теперь сложим эти уравнения:
(O2O1)² + (O3O2)² + (O1O3)² = r1² + r2² + r3² + 2r2r3 — 2r1r2 + 2r3r1 — 2r2r3 + 2r1r2 — 2r3r1
Мы видим, что все слагаемые сокращаются, и остается только:
(O2O1)² + (O3O2)² + (O1O3)² = r1² + r2² + r3²
Таким образом, мы получаем следующую формулу для нахождения радиуса третьей окружности:
r3 = √(r1² + r2² + r3²)
Таким образом, радиус третьей окружности будет равным корню из суммы квадратов радиусов всех трех окружностей. В данном случае это будет √(2² + 3² + 10²) = √(4 + 9 + 100) = √113.
Таким образом, радиус третьей окружности будет примерно равен 10,63 в единицах измерения задачи.
Вывод: В этой задаче мы использовали геометрию и теорему Пифагора для нахождения радиуса третьей окружности, касающейся парно двух других окружностей. Решая систему уравнений и проводя некоторые преобразования, мы пришли к формуле для нахождения этого радиуса. Полученный результат показывает, что радиус третьей окружности составляет примерно 10,63 единицы.